Question

19．已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=$\frac{{λ{a_n}^2+μ{a_n}+4}}{{{a_n}+2}}$，其中n∈N^*，λ，μ为非零常数．
（1）若λ=3，μ=8，求证：{a_n+1}为等比数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{a_n}是公差不等于零的等差数列．
①求实数λ，μ的值；
②数列{a_n}的前n项和S_n构成数列{S_n}，从{S_n}中取不同的四项按从小到大的顺序组成四项子数列．试问：是否存在首项为S₁的四项子数列，使得该子数列中点所有项之和恰好为2017？若存在，求出所有满足条件的四项子数列；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）λ=3，μ=8时，a_n+1=$\frac{3{a}_{n}^{2}+8{a}_{n}+4}{{a}_{n}+2}$=3a_n+2，化为：a_n+1+1=3（a_n+1），即可证明．
（2）①设a_n=a₁+（n-1）d=dn-d+1．由a_n+1=$\frac{{λ{a_n}^2+μ{a_n}+4}}{{{a_n}+2}}$，可得：a_n+1（a_n+2）=$λ{a}_{n}^{2}+μ{a}_{n}$+4，
（dn-d+3）（dn+1）=λ（dn-d+1）²+μ（dn-d+1）+4，令n=1，2，3，解出即可得出．．
②由①可得：S_n=$\frac{n（1+2n-1）}{2}$=n²．设存在首项为S₁的四项子数列，使得该子数列中点所有项之和恰好为2017．
则这四项为：三个奇数一个偶数，或者三个偶数一个奇数．
1^°三个奇数一个偶数：设S₁，S_2x+1，S_2y+1，S_2z是满足条件的四项，则1+（2x+1）²+（2y+1）²+（2z）²=2017，化为2（x²+x+y²+y+z²）=1007，矛盾，舍去．
2^°三个偶数一个奇数，设S₁，S_2x，S_2y，S_2z是满足条件的四项，则1+（2x）²+（2y）²+（2z）²=2017，化为x²+y²+z²=504．由504为偶数，x，y，z中一个偶数两个奇数或者三个偶数．
（i）若x，y，z中一个偶数两个奇数，不妨设x=2x₁，y=2y₁+1，z=2z₁+1，则2$（{x}_{1}^{2}+{y}_{1}^{2}+{y}_{1}+{z}_{1}^{2}+{z}_{1}）$=251，矛盾．
（ii）若x，y，z均为偶数，不妨设x=2x₁，y=2y₁，z=2z₁，则${x}_{1}^{2}$+${y}_{1}^{2}$+${z}_{1}^{2}$=126，则x₁，y₁，z₁中有两个奇数一个偶数．不妨设x₁=2x₂，y₁=2y₂+1，z₁=2z₂+1，则${x}_{2}^{2}+{y}_{2}^{2}+{y}_{2}+{z}_{2}^{2}+{z}_{2}$=31．依此类推分类讨论即可得出．

解答 （1）证明：λ=3，μ=8时，a_n+1=$\frac{3{a}_{n}^{2}+8{a}_{n}+4}{{a}_{n}+2}$=3a_n+2，化为：a_n+1+1=3（a_n+1），
∴：{a_n+1}为等比数列，首项为2，公比为3．
∴a_n+1=2×3^n-1，可得：a_n=2×3^n-1-1．
（2）解：①设a_n=a₁+（n-1）d=dn-d+1．由a_n+1=$\frac{{λ{a_n}^2+μ{a_n}+4}}{{{a_n}+2}}$，可得：a_n+1（a_n+2）=$λ{a}_{n}^{2}+μ{a}_{n}$+4，
∴（dn-d+3）（dn+1）=λ（dn-d+1）²+μ（dn-d+1）+4，
令n=1，2，3，解得：λ=1，μ=4，d=2．
经过检验满足题意，可得：λ=1，μ=4，a_n=2n-1．
②由①可得：S_n=$\frac{n（1+2n-1）}{2}$=n²．设存在首项为S₁的四项子数列，使得该子数列中点所有项之和恰好为2017．
则这四项为：三个奇数一个偶数，或者三个偶数一个奇数．1^°三个奇数一个偶数：设S₁，S_2x+1，S_2y+1，S_2z是满足条件的四项，则1+（2x+1）²+（2y+1）²+（2z）²=2017，化为2（x²+x+y²+y+z²）=1007，矛盾，舍去．
2^°三个偶数一个奇数，设S₁，S_2x，S_2y，S_2z是满足条件的四项，则1+（2x）²+（2y）²+（2z）²=2017，化为x²+y²+z²=504．由504为偶数，x，y，z中一个偶数两个奇数或者三个偶数．
（i）若x，y，z中一个偶数两个奇数，不妨设x=2x₁，y=2y₁+1，z=2z₁+1，则2$（{x}_{1}^{2}+{y}_{1}^{2}+{y}_{1}+{z}_{1}^{2}+{z}_{1}）$=251，矛盾．
（ii）若x，y，z均为偶数，不妨设x=2x₁，y=2y₁，z=2z₁，则${x}_{1}^{2}$+${y}_{1}^{2}$+${z}_{1}^{2}$=126，则x₁，y₁，z₁中有两个奇数一个偶数．不妨设x₁=2x₂，y₁=2y₂+1，z₁=2z₂+1，则${x}_{2}^{2}+{y}_{2}^{2}+{y}_{2}+{z}_{2}^{2}+{z}_{2}$=31．
∵y₂（y₂+1），z₂（z₂+1）均为偶数，∴x₂为奇数．不妨设0≤y₂≤z₂．
当x₂=1时，则${y}_{2}^{2}$+y₂+${z}_{2}^{2}$+z₂=30，${y}_{2}^{2}$+y₂≤14，检验可得：y₂=0，z₂=5，x₂=1．
当x₂=3时，则${y}_{2}^{2}$+y₂+${z}_{2}^{2}$+z₂=22，${y}_{2}^{2}$+y₂≤10，检验可得：y₂=1，z₂=4，x₂=3．
当x₂=5时，则${y}_{2}^{2}$+y₂+${z}_{2}^{2}$+z₂=6，${y}_{2}^{2}$+y₂≤2，检验可得：y₂=0，z₂=2，x₂=5．
即{S₁，S₄，S₈，S₄₄}，{S₁，S₁₂，S₂₄，S₃₆}，{S₁，S₄，S₂₀，S₄₀}为全部满足条件的四元子列．

点评 本题考查了数列递推关系、数列通项公式、分类讨论方法、数奇偶性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．