Question

10．某公司计划在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元．甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟．甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元．设该公司在甲、乙两个电视台做广告的时间分别为x分钟和y分钟．
（Ⅰ）用x，y列出满足条件的数学关系式，并在坐标系中用阴影表示相应的平面区域；
（Ⅱ）该公司如何分配在甲、乙两个电视台做广告的时间使公司的收益最大，最大收益是多少？

Answer 1

分析 （I）根据广告费用和收益列出约束条件，作出可行域；
（II）列出目标函数z=3000x+2000y，根据可行域判断最优解的位置，列方程组解出最优解得出最大收益．

解答 解：（Ⅰ）设该公司在甲、乙两个电视台做广告的时间分别为x分钟和y分钟，
则x，y满足的数学关系式为 $\left\{\begin{array}{l}{x+y≤300}\\{500x+200y≤90000}\\{x≥0}\\{y≥0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x+y≤300}\\{5x+2y≤900}\\{x≥0}\\{y≥0}\end{array}\right.$，
作出二元一次不等式组所表示的平面区域：

（Ⅱ）设公司的收益为z元，则目标函数为：z=3000x+2000y．
∴y=-$\frac{3}{2}x+\frac{z}{2000}$．
由图可知，当直线y=-$\frac{3}{2}x+\frac{z}{2000}$经过可行域上的点A时，截距$\frac{z}{2000}$最大，即z最大．
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{x+y=300}\\{5x+2y=900}\end{array}\right.$ 得A（100，200），
∴z_max=3000×100+2000×200=700000．
答：该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告使公司的收益最大，最大收益是70万元．

点评 本题考查了简单线性规划的应用，列出约束条件作出可行域是解题关键．