Question

18．如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB＞1，点E在棱AB上移动，小蚂蚁从点A沿长方体的表面爬到点C₁，所爬的最短路程为2$\sqrt{2}$．则该长方体外接球的表面积为6π．

Answer 1

分析 根据四边形ADD₁A是正方形，则小蚂蚁从点A沿长方体的表面爬到点C₁可能有两种途径，然后比较两个路程的大小从而求出AB的长，从而求得该长方体外接球的表面积．

解答 解：（1）设AB=x，点A到点C₁可能有两种途径，如图甲的最短路程为|AC₁|=$\sqrt{{x}^{2}+4}$．
如图乙的最短路程为|AC₁|=$\sqrt{{x}^{2}+2x+2}$，

图甲　　　　　　　　　　　图乙
∵x＞1，∴x²+2x+2＞x²+2+2=x²+4，故从点A沿长方体的表面爬到点C₁的最短距离为$\sqrt{{x}^{2}+4}$=2$\sqrt{2}$
解得x=2．即AB的长度为2．
设长方体外接球的半径为R，则（2R）²=1²+1²+2²=6，
∴R²=$\frac{3}{2}$，∴S_表=4πR²=6π．
即该长方体外接球的表面积为6π．
故答案为：6π

点评 本题考查棱柱的结构特征，考查分类讨论思想，考查计算能力，属于中档题．