Question

1．直线l的极坐标方程为ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=a，曲线C参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），已知C与l有且只有一个公共点．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）过P点作平行于l的直线交C于A，B两点，且|PA|•|PB|=3，求点P轨迹的直角坐标方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由x=ρcosθ，y=ρsinθ，两角和的正弦公式，可得直线l的直角坐标方程；运用同角的平方关系，可得曲线C的普通方程，再由直线和圆相切的条件：d=r，由点到直线的距离公式，可得a的值；
（Ⅱ）设点P（x₀，y₀）及过点P且与l平行的直线为L₁：$\left\{\begin{array}{l}{x={x}_{0}-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y={y}_{0}+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$，（t为参数），代入曲线C的方程，由韦达定理和参数的几何意义，结合条件可得P的轨迹方程，注意条件的限制．

解答 解：（Ⅰ）ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=a，即为ρ（$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinθ+$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosθ）=a，
由x=ρcosθ，y=ρsinθ，
可得直线l的直角坐标方程为$\frac{\sqrt{2}}{2}$x+$\frac{\sqrt{2}}{2}$y=a，
曲线C参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），
由同角的平方关系，消去参数θ，可得曲线C：x²+y²=1，
由C与l有且只有一个公共点，即直线和圆相切，
可得圆心（0，0）到直线的距离为d=$\frac{|0+0+a|}{\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}}}$=1，
解得a=±1；
（Ⅱ）设点P（x₀，y₀）及过点P且与l平行的直线为L₁：$\left\{\begin{array}{l}{x={x}_{0}-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y={y}_{0}+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$，（t为参数），
由直线L₁与曲线C：x²+y²=1相交可得：t²-$\sqrt{2}$（x₀+y₀）t+x₀²+y₀²-1=0，
即有t₁t₂=x₀²+y₀²-1，
因为|PA|•|PB|=3，
所以|x₀²+y₀²-1|=3，即x₀²+y₀²=4，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+m}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$可得2x²-2mx+m²-1=0，
由△=4m²-4×2（m²-1）＞0，解得-$\sqrt{2}$＜m＜$\sqrt{2}$，
点P的轨迹的直角坐标方程为x²+y²=4（夹在两直线y=-x±$\sqrt{2}$之间的两段圆弧）．

点评 本题考查极坐标方程和直角坐标方程的互化、参数方程和普通方程的互化，考查直线和圆的位置关系的判断和应用，考查直线的参数方程的运用，属于中档题．