Question

7．已知函数f（x）=log_a$\frac{1-mx}{x+1}$（a＞0，a≠1，m≠-1），是定义在（-1，1）上的奇函数．
（I）求f（0）的值和实数m的值；
（II）当m=1时，判断函数f（x）在（-1，1）上的单调性，并给出证明．

Answer 1

分析 （I）f（0）=log_a¹=0，利用奇函数的定义，即可求出实数m的值；
（II）当m=1时，f（x）=log_a $\frac{1-x}{x+1}$，t=$\frac{1-x}{x+1}$，判断其单调性，即可判断与证明函数f（x）在（-1，1）上的单调性

解答 解：（I）f（0）=log_a¹=0．
因为f（x）是奇函数，
所以：f（-x）=-f（x）⇒f（-x）+f（x）=0
∴log_a$\frac{1+mx}{-x+1}$+log_a$\frac{1-mx}{x+1}$=0；
∴log_a$\frac{1-{m}^{2}{x}^{2}}{1-{x}^{2}}$=0⇒$\frac{1-{m}^{2}{x}^{2}}{1-{x}^{2}}$=1，
即∴1-m²x²=1-x²对定义域内的x都成立．∴m²=1．
所以m=1或m=-1（舍）
∴m=1．
（II）∵m=1
∴f（x）=log_a $\frac{1-x}{x+1}$，
∴t=$\frac{1-x}{x+1}$，
设-1＜x₁＜x₂＜1，则t₁-t₂=$\frac{1-{x}_{1}}{{x}_{1}+1}$-$\frac{1-{x}_{2}}{{x}_{2}+1}$=$\frac{2（{x}_{2}-{x}_{1}）}{（{x}_{1}+1）（{x}_{2}+1）}$，
∵-1＜x₁＜x₂＜1∴x₂-x₁＞0，（x₁+1）（x₂+1）＞0
∴t₁＞t₂．
当a＞1时，log_at₁＞log_at₂，即f（x₁）＞f（x₂）．
∴当a＞1时，f（x）在（-1，1）上是减函数．
当0＜a＜1时，log_at₁＜log_at₂，即f（x₁）＜f（x₂）．
∴当0＜a＜1时，f（x）在（-1，1）上是增函数．

点评 本题主要考查函数奇偶性的应用，以及对数的图象和性质，利用奇偶性的对应建立方程是解决本题的关键．