Question

若函数f（x）是R上的减函数，且f（x）的图象经过A（0，3），B（3，-1），则不等式|f（x+1）-1|＜2 的解集是 （　　）

• A、0＜x≤2
• B、0≤x＜2
• C、-1＜x＜0
• D、-1＜x＜2

Answer 1

考点：函数单调性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：由不等式|f（x+1）-1|＜2，求出f（x+1）的范围，然后根据f（x）的图象经过点A（0，3）和点B（3，-1），得到f（0）=3和f（3）=-1的值，求出的f（x+1）的范围中的3和-1分别用f（0）、f（3）代换后，得到函数值的大小关系，根据函数f（x）在R上单调递减，得到其对应的自变量x的范围，即为原不等式的解集．

解答： 解：由不等式|f（x+1）-1|＜2，
得到：-2＜f（x+1）-1＜2，即-1＜f（x+1）＜3，
又∵f（x）的图象经过点A（0，3）和点B（3，-1），
∴f（0）=3，f（3）=-1，
∴f（3）＜f（x+1）＜f（0），
又∵f（x）在R上为减函数，
∴3＞x+1＞0，即-1＜x＜2，
故选D．

点评：此题考查了绝对值不等式的解法，以及函数单调性的性质．把不等式解集中的3和-1分别换为f（0）和f（3）是解本题的突破点，同时要求学生熟练掌握函数单调性的性质．