Question

18．在△ABC中，设角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知$\overrightarrow m=（a，\frac{c}{2}）$，$\overrightarrow n=（cosC，1）$，且$\overrightarrow m•\overrightarrow n=b$．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若a=3，求△ABC的面积S的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由两向量的坐标，利用平面向量的数量积运算法则化简已知等式，整理后利用正弦定理化简，求出cosA的值，即可确定出角A的大小；
（Ⅱ）由a，cosA的值，利用余弦定理列出关系式，并利用基本不等式求出bc的最大值，确定出面积的最大值即可．

解答 解：（Ⅰ）∵$\overrightarrow{m}$=（a，$\frac{c}{2}$），$\overrightarrow{n}$（cosC，1），∴$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=b，即2acosC+c=2b，
由正弦定理，得2sinAcosC+sinC=2sinB，
∵sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，
∴sinC=2cosAsinC，
∵sinC≠0，
∴cosA=$\frac{1}{2}$，
又0＜A＜π，
∴A=$\frac{π}{3}$）
（Ⅱ）∵a=3，A=$\frac{π}{3}$，
由余弦定理，得b²+c²-2bc•cos$\frac{π}{3}$=9，即b²+c²-bc=9，
∵b²+c²≥2bc，
∴b²+c²-bc≥2bc-bc=bc．
∴bc≤9，当且仅当b=c时等号成立，
∴S=$\frac{1}{2}$bcsinA≤$\frac{1}{2}$×9×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{9\sqrt{3}}{4}$，
则△ABC的面积S的最大值为$\frac{{9\sqrt{3}}}{4}$．

点评 此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．