Question

已知直线（3m+1）x+（1-m）y-4=0所过定点的横、纵坐标分别是等差数列{a_n}的第1项与第2项，若b_n=

1

an•an+1

，则数列{b_n}的前10项和为

 

．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：3mx+x+y-my-4=0过定点（1，3），从而得到a_n=2n-1，b_n=

1

an•an+1

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，由此利用裂项求和法能求出数列{b_n}的前10项和．

解答： 解：3mx+x+y-my-4=0
x+y-4=m（y-3x）
则x+y-4=0且y-3x=0，
解得x=1，y=3
∵直线（3m+1）x+（1-m）y-4=0所过定点的横、纵坐标分别是等差数列{a_n}的第1项与第2项，
∴a₁=1，a₂=3，∴d=3-1=2，
∴a_n=2n-1，
∴b_n=

1

an•an+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
∴S_n=

1

2

（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

）
=

1

2

（1-

1

2n+1

）
=

n

2n+1

．
∴S10=

10

21

．
故答案为：

10

21

．

点评：本题考查数列的前10项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．