Question

已知q和n均为给定的大于1的自然数．设集合M＝{0,1,2，…，q－1}，集合A＝{x|x＝x₁＋x₂q＋…＋x_nq^n－1，x_i∈M，i＝1,2，…，n}．

(1)当q＝2，n＝3时，用列举法表示集合A；

(2)设s，t∈A，s＝a₁＋a₂q＋…＋a_nq^n－1，t＝b₁＋b₂q＋…＋b_nq^n－1，其中a_i，b_i∈M，i＝1,2，…，n.证明：若a_n<b_n，则s<t.

Answer 1

解　(1)当q＝2，n＝3时，M＝{0,1}，A＝{x|x＝x₁＋x₂·2＋x₃·2²，x_i∈M，i＝1,2,3}．

可得，A＝{0,1,2,3,4,5,6,7}．

(2)证明：由s，t∈A，s＝a₁＋a₂q＋…＋a_nq^n－1，t＝b₁＋b₂q＋…＋b_nq^n－1，a_i，b_i∈M，i＝1,2，…，n及a_n<b_n，

可得s－t＝(a₁－b₁)＋(a₂－b₂)q＋…＋(a_n－1－b_n－1)q^n－2＋(a_n－b_n)q^n－1≤(q－1)＋(q－1)q＋…＋(q－1)q^n－2－q^n－1

＝－q^n－1＝－1<0.

所以，s<t.