Question

【题目】如图，四棱锥中，，平面底面，，，是中点.

（1）证明：直线平面；

（2）点为线段的中点，求二面角的大小.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）取中点，连接，，证出，利用线面平行的判定定理即可证出.

（2）不妨设，则，，取中点，得，，以为原点，以为轴，建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量与平面的一个法向量，利用空间向量的数量积即可求解.

证明：（1）如图，取中点，连接，，

因为为中位线，

所以且，

又因为且，

所以且，

所以四边形为平行四边形，所以，

又因为平面，平面，

所以平面.

（2）不妨设，则，，取中点，

所以，

又因为，，

所以四边形为矩形，

所以，，

平面平面，所以平面，

，

又因为三角形为正三角形，

所以，

故如图建立空间直角坐标系，

可得，，，，，，

所以，，

设平面的一个法向量为，则，可取，

易知平面的一个法向量，

所以，又知二面角为锐角，

则二面角的大小为.