Question

【题目】已知过椭圆的焦点，且椭圆的中心关于直线的对称点的横坐标为（为椭圆的焦距）.

（1）求椭圆的方程；

（2）是否存在过点，且交椭圆于点的直线，满足.若存在，求直线的方程；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在满足题意的直线，方程为或.

【解析】

（1）根据点关于直线对称点的求解方法可得，结合直线过焦点和椭圆关系可求得，进而得到椭圆方程；

（2）通过可求得；当直线斜率不存在时，易知满足题意；当直线斜率存在时，假设其方程为，与椭圆方程联立，利用弦长公式求得，根据点到直线距离公式求得原点到直线距离，由构造方程求得；综合两种情况得到最终结果.

（1）将代入直线方程，解得：，.

设原点关于直线对称的点的坐标为，则，解得：，

，解得：，，

椭圆的方程为：.

（2），.

①当直线斜率不存在时，方程为，代入椭圆方程得：，

，，满足题意；

②当直线斜率存在时，设其方程为，

代入椭圆方程得：，

设，，则，，

，

又点到直线的距离，

，解得：，

直线方程为；

综上所述：存在满足题意的直线，方程为或.