Question

（文）已知函数f(x)=

a•2x+a2-2

2x-1

(x∈R，x≠0)，其中a为常数，且a＜0．
（1）若f（x）是奇函数，求a的取值集合A；
（2）当a=-1时，求f（x）的反函数；
（3）对于问题（1）中的A，当a∈{a|a＜0，a∉A}时，不等式x²-10x+9＜a（x-4）恒成立，求x的取值范围．

Answer 1

考点：不等关系与不等式

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）由必要条件f（-1）+f（1）=0，得a=-1，当a=-1时，f(x)=

1+2x

1-2x

，任取x≠0，x∈R．f（x）+f（-x）=0，由此能求出A={-1}．
（2）当a=-1时，由y=f(x)=

1+2x

1-2x

，得x=log2

y-1

y+1

，互换x，y，能求出f（x）的反函数．
（3）原问题转化为：g（a）=（x-4）a-（x²-10x+9）＞0，a∈{a|a＜0，a≠-1，a≠-4}恒成立，由此能求出x的取值范围．

解答： 解：（1）由必要条件f（-1）+f（1）=0，
得a²-a-2=0，a＜0，所以a=-1，…2分
下面证充分性，当a=-1时，f(x)=

1+2x

1-2x

，任取x≠0，x∈R．
f(-x)+f(x)=

1+2-x

1-2x

+

1+2x

1-2x

=

2x+1

2x-1

+

1+2x

1-2x

=0恒成立…2分
∴A={-1}．…1分
（2）当a=-1时，由y=f(x)=

1+2x

1-2x

，得x=log2

y-1

y+1

，
互换x，y得f-1(x)=log2

x-1

x+1

，…1分
∴f（x）的反函数为f-1(x)=log2

x-1

x+1

，x＜-1或x＞1．…1分
（3）原问题转化为：
g（a）=（x-4）a-（x²-10x+9）＞0，
a∈{a|a＜0，a≠-1，a≠-4}恒成立
则

x-4＜0 g(0)≥0

或

x-4=0 g(0)＞0

，
解得x的取值范围为{1，4}…2分

点评：本题考查集合的求法，考查反函数的求法，考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．