Question

5．已知函数f（x）定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=e^x（x+1），给出下列命题：
①当x＞0时，f（x）=e^x（1-x）
②函数f（x）有2个零点
③f（x）＞0的解集为（-1，0）∪（1，+∞）
④?x₁，x₂∈R，都有|f（x₁）-f（x₂）|＜2
其中正确命题个数是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 根据题意，由函数的奇偶性与x＜0时的解析式可得函数f（x）在R上的解析式，据此分析选项：易得①②错误，对于③、由函数的解析式分x＜0与x＞0两种情况求出分（x）＞0的解集，综合可得③正确，对于④，有函数的解析式求导．分析可得函数f（x）的最值，进而分析可得|f（x₁）-f（x₂）|＜e^-2-（e^-2）=2e^-2＜2，即可得④正确，综合可得答案．

解答 解：根据题意，函数f（x）定义在R上的奇函数，则有f（0）=0，
设x＞0，则-x＜0，f（-x）=e^-x[（-x）+1]=e^-x（1-x），
又由函数为奇函数，则有f（x）=-f（-x）=e^-x（x-1），（x＞0）
则函数f（x）的解析式为f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{x}（x+1），x＜0}\\{0}\\{{e}^{-x}（x-1），x＞0}\end{array}\right.$，
据此分析4个命题：
对于①、当x＞0时，f（x）=e^-x（x-1），故①错误；
对于②、函数f（x）有3个零点，即x=-1、0、1，故②错误；
对于③、当x＜0时，f（x）=e^x（x+1）＞0，解可得x＞-1，
当x＞0时，f（x）=e^-x（x-1）＞0，解可得x＞1，
即f（x）＞0的解集为（-1，0）∪（1，+∞），故③正确；
对于④、当x＜0时，f（x）=e^x（x+1），其导数f′（x）=e^x（x+1）+e^x=e^x（x+2），
分析可得x∈（-∞，-2），f′（x）＜0，f（x）为减函数，x∈（2，+∞），f′（x）＞0，f（x）为增函数，
即当x＜0时，函数f（x）为最小值f（-2）=-e^-2，
又由函数为奇函数，则当x＞0时，函数f（x）为最大值f（2）=e^-2，
?x₁，x₂∈R，都有|f（x₁）-f（x₂）|＜e^-2-（e^-2）=2e^-2＜2，故④正确；
综合可得③、④正确，
故选：B．

点评 本题考查函数奇偶性、单调性的性质应用，关键是求出函数的解析式．