Question

（1）已知函数，其中为有理数，且. 求的最小值；
（2）试用（1）的结果证明如下命题：设，为正有理数. 若，则；
（3）请将（2）中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题.
注：当为正有理数时，有求导公式.

Answer 1

（1）函数在处取得最小值.
（2）见解析
（3）（2）中命题的推广形式为：设为非负实数，为正有理数. 若，则
证明见解析

本题主要考察利用导数求函数的最值，并结合推理，考察数学归纳法，对考生的归纳推理能力有较高要求。
（1），令，解得.
当时，，所以在内是减函数；
当  时，，所以在内是增函数.
故函数在处取得最小值.
（2）由（1）知，当时，有，即   ①
若，中有一个为0，则成立；
若，均不为0，又，可得，于是
在①中令，，可得，
即，亦即.
综上，对，，为正有理数且，总有.   ②
（3）（2）中命题的推广形式为：
设为非负实数，为正有理数.
若，则.            ③
用数学归纳法证明如下：
（1）当时，，有，③成立.
（2）假设当时，③成立，即若为非负实数，为正有理数，
且，则.
当时，已知为非负实数，为正有理数，
且，此时，即，于是
=.
因，由归纳假设可得
，
从而.
又因，由②得

，
从而.
故当时，③成立.
由（1）（2）可知，对一切正整数，所推广的命题成立.
说明：（3）中如果推广形式中指出③式对成立，则后续证明中不需讨论的情况.