Question

设奇函数f（x）定义在（-π，0）∪（0，π）上，其导函数为f′（x），且f（

π

2

）=0，当0＜x＜π时，f′（x）sinx-f（x）cosx＜0，则关于x的不等式f（x）＜2f（

π

6

）sinx的解集为

 

．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,函数的定义域及其求法

专题：导数的综合应用

分析：设g（x）=

f(x)

sinx

，利用导数判断出g（x）单调性，根据函数的单调性求出不等式的解集．

解答： 解：设g（x）=

f(x)

sinx

，
∴g′（x）=

f′(x)sinx-f(x)cosx

sin2x

，
∵f（x）是定义在（-π，0）∪（0，π）上的奇函数，
故g（-x）=

f(-x)

sin((-x)

=

f(x)

sinx

=g（x）
∴g（x）是定义在（-π，0）∪（0，π）上的偶函数．
∵当0＜x＜π时，f′（x）sinx-f（x）cosx＜0
∴g'（x）＜0，
∴g（x）在（0，π）上单调递减，
∴g（x）在（-π，0）上单调递增．
∵f（

π

2

）=0，
∴g（

π

2

）=

f( π 2 )

sin π 2

=0，
∵f（x）＜2f（

π

6

）sinx，
∴g（x）＜g（

π

6

），x∈（0，π），或g（x）＞g（-

π

6

），x∈（-π，0），
∴

π

6

＜x＜π，或-

π

6

＜x＜0．
故x的不等式f（x）＜2f（

π

6

）sinx的解集为（-

π

6

，0）∪（

π

6

，π）．
故答案为：（-

π

6

，0）∪（

π

6

，π）

点评：求抽象不等式的解集，一般能够利用已知条件判断出函数的单调性，再根据函数的单调性将抽象不等式转化为具体函的不等式解之