Question

已知定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）的函数f（x）是偶函数，并且在（-∞，0）上是增函数，若f（2）=0，则

f(x)

x

＜0的解集是（　　）

• A、（-2，0）∪（0，2）
• B、（-∞，-2）∪（0，2）
• C、（-∞，-2）∪（2，+∞）
• D、（-2，0）∪（2，+∞）

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：根据函数为偶函数，结合题意确定函数在（0，+∞）上为减函数，再利用单调性将不等式等价转化为具体不等式，解之即得原不等式的解集．

解答： 解：∵函数f（x）是偶函数，且在（-∞，0）上是增函数，
∴函数在（0，+∞）上为减函数
∵函数f（x）是偶函数，f（2）=0，可得f（-2）=0
∴不等式

f(x)

x

＜0等价于

x＞0 f(x)＜0

或

x＜0 f(x)＞0

当x＞0时，f（x）＜0，即f（x）＜f（2），结合单调性可得x＞2；
当x＜0时，f（x）＞0即f（x）＞f（-2），结合单调性可得-2＜x＜0，
∴解不等式

f(x)

x

＜0，得x∈（-2，0）∪（2，+∞），
故选：D．

点评：本题考查函数单调性与奇偶性的结合，考查解不等式与函数的单调性等知识，属于中档题．将题中的抽象不等式化不等式为具体不等式是解题的关键．