Question

14．（1）计算$\frac{1-i}{{{{（1+i）}^2}}}+\frac{1+i}{{{{（1-i）}^2}}}$
（2）求中心在原点，焦点在坐标轴上，并且经过点P（3，$\frac{15}{4}$）和Q（$\frac{16}{3}$，5）的双曲线方程．

Answer 1

分析 （1）直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案；
（2）由题意设出双曲线方程为$\frac{{x}^{2}}{m}-\frac{{y}^{2}}{n}=1$，代入两点的坐标，联立方程组求得m，n的值得答案．

解答 解：（1）$\frac{1-i}{{{{（1+i）}^2}}}+\frac{1+i}{{{{（1-i）}^2}}}$=$\frac{1-i}{2i}+\frac{1+i}{-2i}$=$\frac{（1-i）（-i）}{-2{i}^{2}}+\frac{（1+i）i}{-2{i}^{2}}=\frac{-1-i-1+i}{2}=-1$；  
 （2）由题意设双曲线方程为$\frac{{x}^{2}}{m}-\frac{{y}^{2}}{n}=1$，
∵双曲线经过点P（3，$\frac{15}{4}$）和Q（$\frac{16}{3}$，5），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{9}{m}-\frac{225}{16n}=1}\\{\frac{256}{9m}-\frac{25}{n}=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-16}\\{n=-9}\end{array}\right.$．
∴双曲线方程为：$\frac{y^2}{9}-\frac{x^2}{16}=1$．

点评 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查双曲线方程的求法，是基础题．