Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+1开口向上，g（x）=log 

1

2

f（x）．
（1）令b=-3，若g（x）在x∈[1，2]上单凋递减，求a的取值范围；
（2）若f（x+2）为偶函数，定义区间[m，n]的长度为n-m，问是否存在常数a，使得函数y=f（x）在区间[a，3]且a≥1的值域为D，且D的长度为10-a²？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）由题意，f（x）=ax²-3x+1，a＞0，由复合函数的单调性知，f（x）在x∈[1，2]上单凋递增，且f（1）＞0，从而解得；
（2）由f（x+2）为偶函数可得f（x）关于x=2对称，从而得到f（x）=a（x-2）²-4a+1，讨论对称轴与区间[a，3]的位置关系，从而确定值域D，进而求D的长度为10-a²时a的值．

解答： 解：（1）由题意，f（x）=ax²-3x+1，a＞0；
又∵g（x）在x∈[1，2]上单凋递减，
∴f（x）在x∈[1，2]上单凋递增，且f（1）＞0，
即

3 2a ≤1 a-3+1＞0

，
解得a＞2；
（2）∵f（x+2）为偶函数，
∴f（x）关于x=2对称，
故-

b

2a

=2，解得，4a+b=0；
f（x）=a（x-2）²-4a+1，
假设存在常数a，
则若1≤a≤2，
则f_min（x）=-4a+1，f_max（x）=f（3）=-3a+1，
则-3a+1-（-4a+1）=10-a²，
即a²+a-10=0，在[1，2]上无解；
若2＜a＜3，
则f_min（x）=f（a）=a³-4a²+1，f_max（x）=f（3）=-3a+1，
则-3a+1-（a³-4a²+1）=10-a²，
即a³-5a²+3a+10=0，
作函数F（a）=a³-5a²+3a+10的图象如下，

故不存在．

点评：本题考查了二次函数的性质应用，属于基础题．