Question

若集合{x|x+a=a|x|，x∈R}为单元素集，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：函数的零点,集合的表示法

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：当a=0时，方程x+a=a|x|①的解为x=0，满足条件；当a≠0时显然0不是其解，①的解为当x＞0时x=

a

a-1

，当x＜0时，x=-

a

a+1

，对a的取值分类讨论，即可确定实数a的取值范围．

解答： 解：当a=0时，方程x+a=a|x|①的解为x=0，满足条件；
当a≠0时显然0不是其解，①的解为当x＞0时x=

a

a-1

，当x＜0时，x=-

a

a+1

下面对a的取值分类讨论
当0＜a＜1时x=

a

a-1

，（舍去）x=-

a

a+1

＜0满足条件；
当a=1时①只有一解为，x=-

a

a+1

满足条件；
当a＞1时显然方程有二解舍去
当-1≤a＜0时①只有一根为x=

a

a-1

，当a＜-1时①有二解x=

a

a-1

，x=-

a

a+1

（舍去）．
综上a的范围是-1≤a≤1
故答案为：-1≤a≤1．

点评：本题考查实数a的取值范围，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．