Question

定义在R上的函数f（x）为增函数，命题P：函数y=f（x）+f（-x）在R上是偶函数且导函数为增函数；命题Q：函数y=-f（x）+f（-x）是R上的减函数且导函数为偶函数．问P∧Q为真命题还是假命题，为什么？

Answer 1

考点：复合命题的真假

专题：简易逻辑

分析：首先，借助于函数的奇偶性的定义和复合函数的导数法则，分别判断函数y=f（x）+f（-x）和函数y=-f（x）+f（-x）的导函数的奇偶性，然后，再结合函数的单调性的定义，判断它们的单调性．

解答： 解：P∧Q为真命题，理由如下：
由命题p：
设函数F（x）=f（x）+f（-x），
则F（-x）=f（-x）+f（x）=F（x）
∴函数y=f（x）+f（-x）为偶函数，
又∵y′=F′（x）=f′（x）-f′（-x），
∵函数f（x）为R上的增函数，
∴函数f（-x）为R上的减函数，
∴f′（x）＞0，f′（-x）＜0，
∴F′（x）=f′（x）-f′（-x）＞0，
∴函数y=f（x）+f（-x）导函数为增函数，
∴命题p为真命题；
对于命题Q：
∴函数y=-f（x）+f（-x）是R上的减函数，
设函数G（x）=-f（x）+f（-x），
则G′（x）=-f′（x）-f′（-x），
∴G′（-x）=-f′（-x）-f′（x）=G′（x），
∴G′（x）=-f′（x）-f′（-x）为偶函数，
∴函数y=-f（x）+f（-x）导函数为偶函数，
∴命题Q为真命题，
结合复合命题的真值表，
得到P∧Q为真命题．
故答案为P∧Q为真命题．

点评：本题重点考查函数的单调性、奇偶性、复合函数的导数计算，函数的单调性与导数之间的关系，考查比较综合，需要注意复合函数的导数．