Question

已知椭圆的中心在坐标原点，左顶点，离心率，为右焦点，过焦点的直线交椭圆于、两点（不同于点）．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）当时，求直线PQ的方程；
（Ⅲ）判断能否成为等边三角形，并说明理由．

Answer 1

，或，不能

解：（Ⅰ）设椭圆方程为 (a>b>0) ，
由已知
∴                 -----------------------------------------2分
∴椭圆方程为．           -------------------------------------------------4分
（Ⅱ）解法一
椭圆右焦点．
设直线方程为（∈R）．          ----------------------------------5分
由   得．①          -----------6分
显然，方程①的．
设，则有．     ----7分

．
∵，
∴ ．
解得．
∴直线PQ 方程为，即或．    ----------9分
解法二：椭圆右焦点．
当直线的斜率不存在时，，不合题意．
设直线方程为，            --------------------------------------5分
由 得．  ①     ----6分
显然，方程①的．
设，则．      --------7分


=．
∵，
∴，解得．
∴直线的方程为，即或．  --------9分
（Ⅲ）不可能是等边三角形．   ---------------------------------------------------11分
如果是等边三角形，必有，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，或（无解）．
而当时，，不能构成等边三角形．
∴不可能是等边三角形．------------------------------------------------------------14分