Question

设已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c，下列结论中错误的是

 

（1）?x₀∈R，f（x₀）=0
（2）函数y=f（x）的图象可由y=x³的图象经过平移变换而得
（3）若x₀是f（x）的极小值点，则f（x）在区间（-∞，x₀）单调递减
（4）若x₀是f（x）的极值点，则f′（x₀）=0．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：阅读型,函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：对于（1），对于三次函数f （x ）=x³+ax²+bx+c，由于当x→-∞时，y→-∞，当x→+∞时，y→+∞，即可判断；对于（2）：因为函数f （x ）=x³+ax²+bx+c，都可能经过中心对称图形的y=x³的图象平移得到，即可判断；对于（3）：采用取特殊函数的方法，若取a=-1，b=-1，c=0，则f（x）=x³-x²-x，利用导数研究其极值和单调性进行判断；对于（4）：若x₀是f（x）的极值点，根据导数的意义，则f′（x₀ ）=0，即可判断．

解答： 解：对于三次函数f （x ）=x³+ax²+bx+c，
对于（1）：由于当x→-∞时，y→-∞，
当x→+∞时，y→+∞，
故?x₀∈R，f（x₀）=0，故（1）正确；
对于（2）：∵f（-

2a

3

-x）+f（x）=（-

2a

3

-x）³+
a（-

2a

3

-x）²+b（-

2a

3

-x）+c+x³+ax²+bx+c
=

4a3

27

-

2ab

3

+2c，
f（-

a

3

）=（-

a

3

）³+a（-

a

3

）²+b（-

a

3

）+c=

2a3

27

-

ab

3

+c，
∵f（-

2a

3

-x）+f（x）=2f（-

a

3

），
∴点P（-

a

3

，f（-

a

3

））为对称中心，
但三次函数图象的形状是由三次项系数和一次项系数一起决定的，
则f（x）的图象不一定可以经过中心对称图形的y=x³的图象平移得到．
比如y=x³+x经过原点，就不能由y=x³平移得到．故（2）错误；
对于（3）：若取a=-1，b=-1，c=0，则f（x）=x³-x²-x，对于f（x）=x³-x²-x，
∵f′（x）=3x²-2x-1
∴由f′（x）=3x²-2x-1＞0得x∈（-∞，-

1

3

）∪（1，+∞）
由f′（x）=3x²-2x-1＜0得x∈（-

1

3

，1）
∴函数f（x）的单调增区间为：（-∞，-

1

3

），（1，+∞），减区间为：（-

1

3

，1），
故1是f（x）的极小值点，但f（x ）在区间（-∞，1）不是单调递减，故（3）错；
对于（4）：若x₀是f（x）的极值点，根据导数的意义，则f′（x₀ ）=0，故（4）正确．
故答案为：（2）（3）．

点评：本题主要考查三次函数的零点和极值以及等差问题，考查了导数在求函数极值中的应用，利用导数求函数的单调区间，及导数的运算，属于基础题和易错题．