Question

定义域为D的单调函数y=f（x），如果存在区间[a，b]⊆D，满足当定义域为是[a，b]时，f（x）的值域也是[a，b]，则称[a，b]是该函数的“可协调区间”；如果函数y=

(a2+a)x-1

a2x

（a≠0）的一个可协调区间是[m，n]，则n-m的最大值是（　　）

• A、2
• B、3
• C、

  2 3

  3

• D、4

Answer 1

考点：函数的值域

专题：新定义,函数的性质及应用

分析：由已知，既然因为已知函数存在“可协调区间”，且其在（-∞，0），（0，+∞）都是增函数，所以有

f(m)=m f(n)=n

，然后将n-m表示成某个变量的函数，求其最大值．

解答： 解：令f（x）=

(a2+a)x-1

a2x

（a≠0），定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），又[m，n]是函数f（x）的可协调区间，所以[m，n]⊆（-∞，0）或[m，n]⊆（0，+∞）
又f′（x）=

1

a2x2

＞0，x∈[m，n]，所以f（x）=

(a2+a)x-1

a2x

（a≠0）在[m，n]上是增函数，
所以f（m）=m，f（n）=n，所以m，n是方程

(a2+a)x-1

a2x

=x（a≠0），即方程a²x²-（a²+a）x+1=0（a≠0）两个同号的互异实数根，
则只需

mn= 1 a2 ＞0 △=(a2+a)2-4a2＞0

解得a＞1或a＜-3，
所以n-m=

(m+n)2-4mn

=

( a2+a a2 )2- 4 a2

=

- 3 a2 + 2 a +1

=

-3( 1 a - 1 3 )2+ 4 3

，
结合a＞1或a＜-3，当a=3时，n-m的最大值为

4 3

，即

2 3

3

．
故选C

点评：本题属于信息给予题，准确理解“可协调区间”是解题的关键，属于中档题．