Question

已知：函数f（x）=

3

sin(ωx)-2sin2

ωx

2

+m的最小正周期为3π（ω＞0），且当x∈[0，π]时，函数f（x）的最小值为0，
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）在△ABC中，若f（C）=1，且2sin²B=cosB+cos（A-C），求sinA的值．

Answer 1

考点：正弦函数的对称性,三角函数中的恒等变换应用,正弦函数的图象

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）利用三角函数公式将函数进行化简，利用最小周期和最小值即可求函数f（x）的表达式；
（2）根据条件f（C）=1，建立方程关系，求出C的值，然后根据三角公式即可求出sinA的值．

解答： 解：（1）f（x）=

3

sin(ωx)-2sin2

ωx

2

+m=

3

sin?ωx+cos?ωx-1+m=2sin?(ωx+

π

6

)-1+m，
∵函数f（x）的周期为3π，即

2π

ω

=3π，
∴ω=

2

3

，
因此，函数f（x）的解析式是f(x)=2sin?(

2

3

x+

π

6

)-1+m，
∵x∈[0，π]，
∴

π

6

≤

2

3

x+

π

6

≤

5π

6

，

1

2

≤sin?(

2

3

x+

π

6

)≤1，
∴1≤2sin?(

2

3

x+

π

6

)≤2，
即f（x）的最小值为m，即m=0，
∴f(x)=2sin(

2

3

x+

π

6

)-1．
（2）∵f(C)=2sin(

2C

3

+

π

6

)-1=1，
∴sin?(

2C

3

+

π

6

)=1，
∵C∈（0，π），
∴

π

6

≤

2C

3

+

π

6

≤

5π

6

，
即

2C

3

+

π

6

=

π

2

，
解得C=

π

2

．
∵在Rt△ABC中，A+B=

π

2

，有2sin²B=cosB+cos（A-C）
∴2cos²A-sinA-sinA=0，
即sin²A+sinA-1=0，
解得sinA=

-1± 5

2

，
∵0＜sinA＜1，
∴sinA=

5 -1

2

．

点评：本题主要考查了三角恒等变换、三角函数的图象与性质和同角三角函数的基本关系等知识点，要求熟练掌握三角函数的公式，属于中档题．