Question

15．平面内有向量$\overrightarrow{OA}$=（1，7），$\overrightarrow{OB}$=（5，1），$\overrightarrow{OP}$=（2，1），点M为直线OP上的一个动点．
（1）当$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$取得最小值时，求点M的坐标；
（2）在点M满足（1）的条件下，求∠AMB的余弦值．

Answer 1

分析 （1）直线OP的方程为：y=$\frac{1}{2}$x，设M（2m，m），利用数量积运算性质、二次函数的单调性即可得出．
（2）利用数量积运算性质、向量夹角公式即可得出．

解答 解：（1）直线OP的方程为：y=$\frac{1}{2}$x，设M（2m，m），
$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$=（1-2m，7-m）•（5-2m，1-m）=（1-2m）•（5-2m）+（7-m）•（1-m）=5m²-20m+12=5（m-2）²-8，
当m=2时，$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$取得最小值-8，此时M（4，2）．
（2）在点M满足（1）的条件下，M（4，2）．
$\overrightarrow{MA}$=（-3，5），$\overrightarrow{MB}$=（1，-1），$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$=-8，|$\overrightarrow{MA}$|=$\sqrt{34}$，|$\overrightarrow{MB}$|=$\sqrt{2}$，
∴cos∠AMB=$\frac{\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}}{|\overrightarrow{MA}||\overrightarrow{MB}|}$=$\frac{-8}{\sqrt{34}×\sqrt{2}}$=-$\frac{4\sqrt{17}}{17}$．

点评 本题考查了数量积运算性质、二次函数的单调性、向量夹角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．