Question

8．设函数f（x）=lnx，g（x）=x²-3x，记F（x）=f（x）+g（x）
（1）求曲线y=f（x）在x=e处的切线方程；
（2）求函数F（x）在[$\frac{1}{2}$，2]上的最值．

Answer 1

分析 （1）由y=lnx，知y′=$\frac{1}{x}$，故曲线y=lnx在点M（e，1）处切线的斜率k=$\frac{1}{e}$，由此能求出曲线y=lnx在x=e处切线的方程．
（2）求出原函数的导函数，确定出函数的单调区间，由此求得函数的极值点．

解答 解：（1）∵y=lnx，
∴y′=$\frac{1}{x}$，
∴曲线y=lnx在x=e处切线的斜率k=$\frac{1}{e}$，
曲线y=lnx在x=e处切线的方程为：y-1=$\frac{1}{e}$（x-e），
整理，得y=$\frac{1}{e}$x．
在x=e处的切线方程为：x-ey=0，
（2）F（x）=lnx+x²-3x，
$F'（x）=\frac{（x-1）（2x-1）}{x}$，
当$\frac{1}{2}＜x＜1$时，F'（x）＜0，
1＜x＜2时，F'（x）＞0，
所以F（x）_min=F（1）=-2，
又因为$F（2）=ln2-2，F（\frac{1}{2}）=-ln2-\frac{5}{4}$，
因为$F（2）＞F（\frac{1}{2}）$，
所以F（x）_max=ln2-2．

点评 本题考查了考查曲线的切线方程的求法，利用导数研究函数的单调性，关键是正确求出原函数的导函数，属于中档题．