Question

1．已知函数f（x）=|kx+1|+|kx-2k|，g（x）=x+1．
（1）当k=1时，求不等式f（x）＞g（x）的解集；
（2）若存在x₀∈R，使得不等式f（x₀）≤2成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）问题转化为|x-2|+|x-1|-x-1＞0，设函数y=|x-2|+|x-1|-x-1，通过讨论x的范围求出不等式的解集即可；
（2）问题 等价于|2k-1|≤2，解出即可．

解答 解（1）k=1时，不等式f（x）＞g（x）化为：|x-2|+|x-1|-x-1＞0，
设函数y=|x-2|+|x-1|-x-1，则y=$\left\{\begin{array}{l}{2-3x，x＜1}\\{-x，1≤x≤2}\\{x-4，x＞2}\end{array}\right.$，
令y＞0，解得：x＞4或x＜$\frac{2}{3}$，
∴原不等式的解集是{x|x＜$\frac{2}{3}$或x＞4}；
（2）∵f（x）-|kx-1|+|kx-2k|＞|kx-1-kx+2k|-|2k-1|，
∴存在x₀∈R，使得不等式f（x₀）≤2成立
等价于|2k-1|≤2，解得：-$\frac{1}{2}$≤k≤$\frac{3}{2}$，
故所求实数k的范围是[-$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$]．

点评 本题考查了绝对值不等式问题，考查函数恒成立问题以及分类讨论思想，是一道中档题．