Question

14．设f（x）=ax²+2x+1-lnx，a∈R．
（1）当a=-$\frac{1}{2}$时，f（x）是否存在极值点；若存在，求出该极值点，若不存在，说明理由；
（2）求f（x）有两个极值点的充要条件；
（3）若f（x）为单调函数，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出当a=-$\frac{1}{2}$时的函数的导数，求得单调区间，即可得到极值；
（2）求出导数，令h（x）=2ax²+2x-1，f（x）有两个极值点的充要条件即为h（x）=0有两个不相等的正根，运用判别式大于0和韦达定理，解不等式即可得到a的范围；
（3）求出导数，令h（x）=2ax²+2x-1，讨论a=0，a＞0，a＜0，通过对称轴和二次函数的图象，结合导数的符号，即可求得a的范围．

解答 解：（1）f（x）=ax²+2x+1-lnx的导数为f′（x）=2ax+2-$\frac{1}{x}$=$\frac{2a{x}^{2}+2x-1}{x}$，
当a=-$\frac{1}{2}$时，f′（x）=-$\frac{{x}^{2}-2x+1}{x}$=-$\frac{（x-1）^{2}}{x}$，
当x＞0时，f′（x）≤0恒成立，即有f（x）在（0，+∞）递减，
则有f（x）不存在极值点；
（2）由于f′（x）=2ax+2-$\frac{1}{x}$=$\frac{2a{x}^{2}+2x-1}{x}$（x＞0），
令h（x）=2ax²+2x-1，
f（x）有两个极值点的充要条件即为h（x）=0有两个不相等的正根，
则有a≠0，判别式4+8a＞0，且-$\frac{1}{a}$＞0，-$\frac{1}{2a}$＞0，
解得-$\frac{1}{2}$＜a＜0；
（3）由于f′（x）=2ax+2-$\frac{1}{x}$=$\frac{2a{x}^{2}+2x-1}{x}$（x＞0），
令h（x）=2ax²+2x-1，
当a=0时，h（x）=2x-1，当x＞$\frac{1}{2}$，f（x）递增，0＜x＜$\frac{1}{2}$，f（x）递减，
不合题意；
当a＞0，g（x）的对称轴x=-$\frac{1}{2a}$＜0，g（x）在（0，+∞）递增，g（0）=-1＜0，
即有g（x）在x＞0上有正有负，f（x）有增有减，不合题意；
当a＜0时，g（x）的对称轴x=-$\frac{1}{2a}$＞0，g（0）=-1＜0，
由题意可得g（x）只需满足判别式4+8a≤0即可．
解得a≤-$\frac{1}{2}$．
综上可得a的取值范围为（-∞，-$\frac{1}{2}$]．

点评 本题考查导数的运用：求单调区间和极值，主要考查二次函数的单调性的运用，运用分类讨论的思想方法是解题的关键．