Question

19．已知向量$\overrightarrow{a}$=（sinx，1），$\overrightarrow{b}$=（cosx，2），x∈R，函数f（x）=a•b，
（1）当x∈[-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{3}$]时，求|a+b|的最大值与最小值；
（2）设f（α）=$\frac{12}{5}$，α∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$），求tan（2α+$\frac{3π}{4}$）．

Answer 1

分析 （1）求出|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|，根据三角函数的性质求出其最大值和最小值即可；
（2）求出f（α）的解析式，求出sin2α，cos2α，从而求出tan（2α+$\frac{3π}{4}$）的值即可．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{a}$=（sinx，1），$\overrightarrow{b}$=（cosx，2），x∈R，
∴|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{{（sinx+cosx）}^{2}{+（1+2）}^{2}}$=$\sqrt{sin2x+10}$，
当x∈[-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{3}$]时，2x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]，
y=sin2x的最大值是1，最小值是-$\frac{1}{2}$，
故|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|的最大值是$\sqrt{11}$，最小值是$\frac{\sqrt{38}}{2}$；
（2）函数f（x）=a•b=sinxcosx+2=$\frac{1}{2}$sin2x+2，
∴f（α）=$\frac{1}{2}$sin2α+2=$\frac{12}{5}$，解得：sin2α=$\frac{4}{5}$，
由α∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$），得2α∈（$\frac{π}{2}$，π），
故cos2α=-$\frac{3}{5}$，
故tan（2α+$\frac{3π}{4}$）
=$\frac{sin（2α+\frac{3π}{4}）}{cos（2α+\frac{3π}{4}）}$
=$\frac{sin2αcos\frac{3π}{4}+cos2αsin\frac{3π}{4}}{cos2αcos\frac{3π}{4}-sin2αsin\frac{3π}{4}}$
=$\frac{-\frac{4}{5}-\frac{3}{5}}{\frac{3}{5}-\frac{4}{5}}$
=7．

点评 本题考查了三角函数的性质，考查函数的单调性、最值问题，考查转化思想，是一道中档题．