已知函数,
,其中m∈R.
(1)若0<m≤2,试判断函数f (x)=f1 (x)+f2 (x)的单调性,并证明你的结论;
(2)设函数 若对任意大于等于2的实数x1,总存在唯一的小于2的实数x2,使得g (x1) =" g" (x2) 成立,试确定实数m的取值范围.
(1)单调减函数,(2)(0,4).
解析试题分析:(1)两个函数独立,可分别论证函数在
上单调递减,再得函数f(x)为单调减函数.因为
,所以当0<m≤2,x≥2时,
,从而函数f(x)为单调减函数.(2)结合图形分析,可知讨论点为
当 m≤0时
,
,所以g (x1) =" g" (x2)不成立.当0<m<2时,
,
,
,
,所以g (x1) =" g" (x2)恒成立.当2≤m<4时,
,
,
,所以g (x1) =" g" (x2)恒成立.当m≥4时,
不成立.
解:(1)f (x)为单调减函数.
证明:由0<m≤2,x≥2,可得=
=
.
由 ,
且0<m≤2,x≥2,所以.从而函数f(x)为单调减函数.
(亦可先分别用定义法或导数法论证函数在
上单调递减,再得函数f(x)为单调减函数.)
(2)①若m≤0,由x1≥2,,
x2<2,,
所以g (x1) =" g" (x2)不成立.
②若m>0,由x>2时,,
所以g(x)在单调递减.从而
,即
.
(a)若m≥2,由于x<2时,,
所以g(x)在(-∞,2)上单调递增,从而,即
.
要使g (x1) =" g" (x2)成立,只需,即
成立即可.
由于函数在
的单调递增,且h(4)=0,
所以2≤m<4.
(b)若0<m<2,由于x<2时,
所以g(x)在上单调递增,在
上单调递减.
从而,即
.
要使g (x1) =" g" (x2)成立,只需成立,即
成立即可.
由0<m<2,得 .
故当0<m<2时,恒成立.
综上所述,m为区间(0,4)上任意实数.
考点:利用导数研究函数单调性,利用导数求参数取值范围
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知函数f(x)=x2-4,设曲线y=f(x)在点(xn,f(xn))处的切线与x轴的交点为(xn+1,0)(n∈N +),其中xn为正实数.
(1)用xn表示xn+1;
(2)若x1=4,记an=lg,证明数列{an}成等比数列,并求数列{xn}的通项公式;
(3)若x1=4,bn=xn-2,Tn是数列{bn}的前n项和,证明Tn<3.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知函数f(x)=x3-ax+1.
(1)求x=1时,f(x)取得极值,求a的值;
(2)求f(x)在[0,1]上的最小值;
(3)若对任意m∈R,直线y=-x+m都不是曲线y=f(x)的切线,求a的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
某公司经销某种产品,每件产品的成本为6元,预计当每件产品的售价为元(
)时,一年的销售量为
万件。
(1)求公司一年的利润y(万元)与每件产品的售价x的函数关系;
(2)当每件产品的售价为多少时,公司的一年的利润y最大,求出y最大值.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
某工厂有一批货物由海上从甲地运往乙地,已知轮船的最大航行速度为60海里/小时,甲地至乙地之间的海上航行距离为600海里,每小时的运输成本由燃料费和其他费用组成,轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比,比例系数为0.5,其余费用为每小时1250元。
(1)把全程运输成本(元)表示为速度
(海里/小时)的函数;
(2)为使全程运输成本最小,轮船应以多大速度行驶?
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