Question

已知{a_n}是正数组成的数列，a₁＝1，且点(，a_n＋1)(n∈N_＋)在函数y＝x²＋1的图像上．

(1)求数列{a_n}的通项公式；

(2)若数列{b_n}满足b₁＝1，b_n＋1＝b_n＋2a_n，求证：b_n·b_n＋2<b.

Answer 1

　(1)由已知得a_n＋1＝a_n＋1，即a_n＋1－a_n＝1，

又a₁＝1，

所以数列{a_n}是以1为首项，公差为1的等差数列．

故a_n＝1＋(n－1)×1＝n.

(2)由(1)知：a_n＝n从而b_n＋1－b_n＝2ⁿ，

b_n＝(b_n－b_n－1)＋(b_n－1－b_n－2)＋…＋(b₂－b₁)＋b₁

＝2^n－1＋2^n－2＋…＋2＋1＝＝2ⁿ－1.

因为b_nb_n＋2－b＝(2ⁿ－1)(2^n＋2－1)－(2^n＋1－1)²＝2^2n＋2＝－2^n＋2－2ⁿ＋1－(2^2n＋2－2×2^n＋1＋1)＝－5×2ⁿ＋4×2ⁿ－2ⁿ<0，

所以b_nb_n＋2<b.