Question

已知函数f(x)＝a^x＋(a>1)．

(1)求证：函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数；

(2)求证：方程f(x)＝0没有负根．

Answer 1

[证明]　(1)解法1：任取x₁，x₂∈(－1，＋∞)，不妨设x₁<x₂，则x₂－x₁>0，ax₂－x₁>1且ax₁>0，

∴ax₂－ax₁＝ax₁(ax₂－x₁－1)>0.

又∵x₁＋1>0，x₂＋1>0，

求导数得f′(x)＝a^xlna＋，

∵a>1，∴当x>－1时，a^xlna>0，>0，

∴f′(x)>0在(－1，＋∞)上恒成立，

f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．

(2)解法1：设存在x₀<0(x₀≠－1)满足f(x₀)＝0，

则ax₀＝－，且0<ax₀<1，

∴0<－<1，即<x₀<2，

与假设x₀<0矛盾，故方程f(x)＝0没有负根．

解法2：设存在x₀<0(x₀≠－1)满足f(x₀)＝0，

①若－1<x₀<0，则<－2，ax₀<1，

∴f(x₀)<－1与f(x₀)＝0矛盾．

②若x₀<－1，则>1，ax₀>0，

∴f(x₀)>1与f(x₀)＝0矛盾．

故方程f(x)＝0没有负根.