Question

定义域为R的函数f（x）=

1 |x-1| ，x≠1 1，x=1

，若关于x的函数h（x）=f²（x）+bf（x）+

1

4

有5个不同的零点x₁，x₂，x₃，x₄，x₅，则x₁²+x₂²+x₃²+x₄²+x₅²=

 

．

Answer 1

考点：分段函数的应用

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：根据函数f（x）=

1 |x-1| ，x≠1 1，x=1

的表达式可对x分x=1与x≠1讨论，由方程f²（x）+bf（x）+

1

4

=0分别求得x₁、x₂、x₃、x₄、x₅，从而可求得则x₁²+x₂²+x₃²+x₄²+x₅²的值．

解答： 解：①若x=1，f（x）=1，故1²+b+

1

4

=0，b=-

5

4

；
②若x≠1，f（x）=

1

|1-x|

，方程f²（x）+bf（x）+

1

4

=0可化为（

1

|1-x|

-1）•（

1

|1-x|

-

1

4

）=0，
∴

1

|1-x|

=1或

1

|1-x|

=

1

4

，
解

1

|1-x|

=1得：x=0或x=2；解

1

|1-x|

=

1

4

得：x=-3或x=5；
∴x₁²+x₂²+x₃²+x₄²+x₅²=1²+0²+2²+（-3）²+5²=39．
故答案为：39．

点评：本题考查根的存在性及根的个数判断，关键是通过对x分x=1与x≠1讨论，由方程f²（x）+bf（x）+

1

4

=0分别求得x₁、x₂、x₃、x₄、x₅，