Question

3．下列命题为真命题的是（　　）

• A． 已知x，y∈R，则$\left\{\begin{array}{l}{x＞1}\\{y＞2}\end{array}\right.$是$\left\{\begin{array}{l}{x+y＞3}\\{xy＞2}\end{array}\right.$的充要条件
• B． 当0＜x≤2时，函数y=x-$\frac{1}{x}$无最大值
• C． ?a，b∈R，$\frac{a+b}{2}≥\sqrt{ab}$
• D． ?x∈R，sinx+cosx=$\frac{7}{5}$

Answer 1

分析 A利用充分条件和必要条件的定义进行判断
B利用函数的单调性进行判断
C根据基本不等式成立的条件进行判断
D根据三角函数的有界性进行判断

解答 解：A．当x=4，y=1，满足$\left\{\begin{array}{l}{x+y＞3}\\{xy＞2}\end{array}\right.$，但$\left\{\begin{array}{l}{x＞1}\\{y＞2}\end{array}\right.$不成立，即$\left\{\begin{array}{l}{x＞1}\\{y＞2}\end{array}\right.$不是$\left\{\begin{array}{l}{x+y＞3}\\{xy＞2}\end{array}\right.$的充要条件，故A错误，
B．当0＜x≤2时，函数y=x-$\frac{1}{x}$为增函数，则当x=2时，函数取得最大值，故B错误，
C．当a，b＜0时，$\frac{a+b}{2}≥\sqrt{ab}$不成立，故C错误，
D．sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）∈[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]，
∵$\frac{7}{5}$∈[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]，∴?x∈R，sinx+cosx=$\frac{7}{5}$，故D正确，
故选：D

点评 本题主要考查命题的真假判断，涉及充分条件和必要条件，函数单调性，基本不等式以及三角函数的真假判断，知识点较多，综合性较强，但难度不大．