Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，DC∥AB，∠BAD=90°，且AB=2AD=2DC=2PD=4，E为PA的中点．
（Ⅰ）证明：DE∥平面PBC；
（Ⅱ）证明：DE⊥平面PAB；
（Ⅲ）求三棱锥A-PBD的体积．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）设PB的中点为F，连结EF，CF，由已知条件得四边形CDEF为平行四边形，由此能证明DE∥平面PBC．
（Ⅱ）由已知得AB⊥PD，从而AB⊥平面PAD，由此能证明ED⊥平面PAB．
（3）由V_A-PBD=V_P-ABD，利用等积法能求出三棱锥A-PBD的体积．

解答： （Ⅰ）证明：设PB的中点为F，
连结EF，CF，∵E为PA的中点，∴EF∥AB，
又DC∥AB，∴EF∥DC，
∵EF=DC=

1

2

AB，
∴四边形CDEF为平行四边形，∴ED∥CF，
又ED不包含于平面PBC，∴CF?平面PBC，
故DE∥平面PBC．
（Ⅱ）证明：∵PD⊥底面ABCD，AB?平面ABCD，
∴AB⊥PD，
又∵AB⊥AD，PD∩AD=D，
AD?平面PAD，PD?平面PAD，
∴AB⊥平面PAD，
ED?平面PAD，故ED⊥AB，
又PD=AD，E为PA的中点，故ED⊥PA，
PA∩AB=A，PA?平面PAB，
AB?平面PAB，∴ED⊥平面PAB．
（3）解：∵∠BAD=90°，
且AB=2AD=2DC=2PD=4，E为PA的中点．
∴PD=2，S_△ABD=

1

2

AB•AD=

1

2

×4×2=4，
∴V_A-PBD=V_P-ABD=

1

3

×PD×S△ABD=

8

3

．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查直线与闰面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．