Question

【题目】已知首项相等的两个数列满足.

（1）求证：数列是等差数列；

（2）若，求的前n项和；

（3）在（2）的条件下，数列是否存在不同的三项构成等比数列？如果存在，请你求出所有符合题意的项；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）；（3）不存在，理由见解析

【解析】

(1) 等式两边同时除以,化简即可得到,即证明出所求;

(2)由(1)可知,因为,则,利用错位相减即可求得的前n项和;

(3)由(2)的结论可知可知是递增数列,假设数列存在不同的三项构成等比数列设为只需证明即可,但是化简后得,即为偶数(偶数+奇数),其结果不能为零,即可证得不存在.

（1）∵，∴，∴，

∴，是首项为1，公差为2的等差数列.

（2）由（1）知，∴，

①

②

①-②，得

所以，，

（3）不存在.因为，所以是递增数列.

设正整数满足，则，

而是偶数，

所以，是奇数，所以，，所以，.

即，中任意三个不同的项不能构成等比数列.