Question

19．已知函数f（x）=sinx-cosx+x+1，x∈[0，2π]
（1）求函数f（x）的单调递减区间；
（2）求函数f（x）的极小值和最大值，并写明取到极小值和最大值时分别对应x的值．

Answer 1

分析 （1）利用导函数求解决函数f（x）的单调递减区间；
（2）利用单调性求解函数f（x）的极小值和最大值，求对应x的值．

解答 解：（1）函数f（x）=sinx-cosx+x+1，x∈[0，2π]
则：f′（x）=cosx+sinx+1=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）+1　
令f′（x）=0，即sin（x+$\frac{π}{4}$）=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
（x∈[0，2π]）
解得：x=π或x=$\frac{3}{2}$π．
x，f′（x）以及f（x）变化情况如下表：

x	（0，π）	π	（π，$\frac{3}{2}$π）	$\frac{3}{2}$π	（$\frac{3}{2}$π，2π）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	递增	π+2	递减	$\frac{3π}{2}$	递增

根据导函数的值为负区间即为函数f（x）的单调减区间，
∴函数f（x）的单调减区间为（π，$\frac{3}{2}$π）．
（2）由（1）知当x=$\frac{3π}{2}$时，函数f（x）取得极小值，即f （x）_极小=f（$\frac{3}{2}$π）=$\frac{3π}{2}$．
当x=π时，函数f（x）取得极大值，即f（π）=π+2，
∴f（x）_max=f（2π）=2π，
故得函数f（x）的极小值为$\frac{3π}{2}$，此时x=$\frac{3π}{2}$；最大值为2π，此时x=2π．

点评 本题考查了利用导函数求解函数的单调性和最值问题．属于基础题．