Question

7．三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱AA₁⊥平面ABC，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°且AB=AA₁，D，E，F分别是B₁A，CC₁，BC的中点．
（1）求证：DE∥平面ABC；
（2）求证：B₁F⊥平面AEF．

Answer 1

分析 （1）取AB中点O，连接CO，DO，可证四边形DOCE为平行四边形，从而可得DE∥CO，即可证明DE∥平面ABC．
（2）等腰直角三角形△ABC中F为斜边的中点，连接AF，可证AF⊥BC，又三棱柱ABC-A₁B₁C₁为直三棱柱，可证AF⊥B₁F，设AB=AA₁=1，由勾股定理可证B₁F⊥EF，从而证明B₁F⊥平面AEF．

解答 解：（1）证明：取AB中点O，连接CO，DO，
∵DO∥AA₁，DO=$\frac{1}{2}$AA₁，
∴DO∥CE，DO=CE，
∴四边形DOCE为平行四边形，
∴DE∥CO，DE?平面ABC，CO?平面ABC，
∴DE∥平面ABC．…（5分）
（2）证明：等腰直角三角形△ABC中F为斜边的中点，连接AF，
∴AF⊥BC．…（6分）
又∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁为直三棱柱，
∴平面ABC⊥平面BB₁C₁C，
∴AF⊥平面BB₁C₁C，
∴AF⊥B₁F，…（8分）
设AB=AA₁=1，
∴B₁F=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，EF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，B₁E=$\frac{3}{2}$，
∴B₁F²+EF²=B₁E²，
∴B₁F⊥EF，又AF∩EF=F，
∴B₁F⊥平面AEF．…（12分）

点评 本题主要考查了直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于基本知识的考查．