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【题目】已知项数为项的有穷数列,若同时满足以下三个条件:

为正整数或1,其中,3,

任取数列中的两项,剩下的项中一定存在两项,满足,则称数列数列.

若数列是首项为1,公差为1,项数为6项的等差数列,判断数列是否是数列,并说明理由.

时,设数列中1出现次,2出现次,3出现次,其中

求证:

时,求数列中项数的最小值.

【答案】(1)数列不是数列; (2)见解析; (3)2027.

【解析】

根据数列的定义判断即可;

根据数列的定义证明即可;

先证明项数的最小值是2027:再证明上述数列是数列,从而判断即可.

若数列:1,2,3,4,5,6是数列,

取数列中的两项1和2,

则剩下的4项中不存在两项

使得,故数列不是数列;

,对于,若存在,满足

,于是

,从而,矛盾,

,同理

下面证明

,即2出现了1次,不妨设

等式左边是3,等式右边有几种可能,分别是

等式两边不相等,矛盾,于是

设出现次,2出现

2019出现次,其中

可知,,且,同理

故项数

下面证明项数的最小值是2027:

可以得到数列:1,1,1,1,2,2,3,,2016,2017,2018,2019,2019,2019,2019,

接下来证明上述数列是数列:

若任取的两项分别是1,1,则其余的项中还存在2个1,满足

同理,若任取的两项分别是2019,2019也满足要求,

若任取的两项分别是1,2,则其余的项中还存在3个1,1个2,满足要求,

同理,若任取的两项分别是2018,2019也满足要求,

若任取,则在其中的项中取,满足要求,

同理,若也满足要求,

若任取的两项满足

则在其余的项中选取

每个数最多被选取了1次,于是也满足要求,

从而,项数的最小值是2027.

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