Question

【题目】已知项数为项的有穷数列，若同时满足以下三个条件：

，为正整数；或1，其中，3，，；

任取数列中的两项，，剩下的项中一定存在两项，，满足，则称数列为数列．

若数列是首项为1，公差为1，项数为6项的等差数列，判断数列是否是数列，并说明理由．

当时，设数列中1出现次，2出现次，3出现次，其中，，．

求证：，，；

当时，求数列中项数的最小值．

Answer 1

【答案】（1）数列不是数列； （2）见解析； （3）2027.

【解析】

根据数列的定义判断即可；

根据数列的定义证明即可；

先证明项数的最小值是2027：再证明上述数列是数列，从而判断即可．

若数列：1，2，3，4，5，6是数列，

取数列中的两项1和2，

则剩下的4项中不存在两项，，

使得，故数列不是数列；

若，对于，，若存在，满足，

，于是，，

故，，从而，矛盾，

故，同理，

下面证明：

若，即2出现了1次，不妨设，，

等式左边是3，等式右边有几种可能，分别是或或，

等式两边不相等，矛盾，于是；

设出现次，2出现次，

2019出现次，其中，，，，

由可知，，，且，同理，

又，，，

故项数，

下面证明项数的最小值是2027：

取，，，，，

可以得到数列：1，1，1，1，2，2，3，，2016，2017，2018，2019，2019，2019，2019，

接下来证明上述数列是数列：

若任取的两项分别是1，1，则其余的项中还存在2个1，满足，

同理，若任取的两项分别是2019，2019也满足要求，

若任取的两项分别是1，2，则其余的项中还存在3个1，1个2，满足要求，

同理，若任取的两项分别是2018，2019也满足要求，

若任取，，则在其中的项中取，，满足要求，

同理，若，也满足要求，

若任取的两项，满足，

则在其余的项中选取，，

每个数最多被选取了1次，于是也满足要求，

从而，项数的最小值是2027．