Question

在等比数列{a_n}中，已知对任意的正整数n，有s_n=2ⁿ-1，则a₁²+a₂²+…+a_n²=（　　）

• A、（2ⁿ-1）²
• B、

  1

  3

  （2ⁿ-1）²
• C、2ⁿ-1
• D、

  1

  3

  （4ⁿ-1）

Answer 1

考点：数列的求和

专题：计算题,等差数列与等比数列

分析：由等比数列的前n项和可求前几项，求出首项和公比即可求出数列的通项公式，由等比数列的性质可知a_n²也为等比数列，根据等比数列的前n项和的公式

解答： 解：∵等比数列{a_n}的前n项和S_n=2ⁿ-1
∴a₁=S₁=1，a₂=S₂-S₁=2，q=2
所以等比数列的首项为1，公比q为2，
则a_n=2^n-1
∴a_n²=4^n-1，是首项为1，公比为4的等比数列，
∴a₁²+a₂²+…a_n²=

1-4n

1-4

=

1

3

（4ⁿ-1）
故选：D．

点评：本题主要考查数列的求和问题，以及由前n项和求数列通项和等比数列的前n项和公式，属于中档题．