Question

17．如果直角三角形周长为2，则它的最大面积为$3-2\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 设直角三角形的两直角边为a、b，利用勾股定理求出斜边c的表达式，由周长和基本不等式求出ab的范围，根据三角形的面积即可求出直角三角形面积的最大值．

解答 解：设直角三角形的两直角边分别为a、b，则斜边c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$，
由已知得a+b+c=2，∴a+b+$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=2，
∵a+b+$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$≥2$\sqrt{ab}$+$\sqrt{2}$$\sqrt{ab}$（当且仅当a=b时取等号），
∴2≥（2+$\sqrt{2}$）$\sqrt{ab}$，解得$\sqrt{ab}$≤$\frac{2}{2+\sqrt{2}}$=2-$\sqrt{2}$，
则ab≤6-4$\sqrt{2}$，
∴直角三角形的面积S=$\frac{1}{2}ab$≤$3-2\sqrt{2}$，
∴直角三角形面积的最大值是$3-2\sqrt{2}$，
故答案为：$3-2\sqrt{2}$．

点评 本题考查了基本不等式的实际应用，列出有关量的函数关系式或方程式是解题关键，注意基本不等式的三个条件，属于基础题．