Question

15．当x∈[2，8]时，关于x的不等式log₂x+log_x16-a≥0恒成立，则实数a的取值范围是a≤4．

Answer 1

分析 当x∈[2，8]时，log₂x∈[1，3]．关于x的不等式log₂x+log_x16-a≥0恒成立，可得：a≤$（lo{g}_{2}x+\frac{4}{lo{g}_{2}x}）_{min}$，利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：∵当x∈[2，8]时，log₂x∈[1，3]．
关于x的不等式log₂x+log_x16-a≥0恒成立，
∴a≤$（lo{g}_{2}x+\frac{4}{lo{g}_{2}x}）_{min}$
∵log₂x∈[1，3]，∴$lo{g}_{2}x+\frac{4}{lo{g}_{2}x}$≥$2\sqrt{lo{g}_{2}x•\frac{4}{lo{g}_{2}x}}$=4，当且仅当x=4时取等号．
∴a≤4．
则实数a的取值范围是a≤4．
故答案为：a≤4．

点评 本题考查了基本不等式的性质、对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．