Question

在△ABC中，6sinA+4cosB=1，且4sinB+6cosA=5

3

，则cosC=（　　）

• A、

  1

  2

• B、±

  3

  2

• C、

  3

  2

• D、-

  3

  2

Answer 1

考点：同角三角函数基本关系的运用

专题：三角函数的求值

分析：对已知两个方程平方相加，利用两角和与差的三角函数化简，结合同角三角函数的基本关系式即可求出结果．

解答： 解：6sinA+4cosB=1，且4sinB+6cosA=5

3

，
∴（6sinA+4cosB）²=1，…①，
（4sinB+6cosA）²=75，…②，
①+②可得：16+36+48（sinAcosB+cosAsinB）=76
∴sin（A+B）=

1

2

，
∴sinC=

1

2

．
∴cosC=±

3

2

，又∠C∈（0，π），
∴∠C的大小为

π

3

或

2π

3

，
若∠C=

2π

3

，得到A+B=

π

3

，则cosB＞

1

2

，所以4cosB＞2＞1，sinA＞0，
∴6sinA+4cosB＞2与6sinA+4cosB=1矛盾，所以∠C≠

2π

3

，
∴满足题意的∠C的值为

π

3

．
则cosC=

3

2

．
故选：C．

点评：此题考查同角三角函数间基本关系的运用，注意角的范围的讨论，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．