Question

三棱锥P-ABC中，三侧棱PA、PB、PC两两相互垂直，三侧面面积分
别为S₁、S₂、S₃，底面积为S，三侧面与底面分别成角α、β、γ，（1）求S（用S₁、S₂、S₃表示）；（2）求证：cos²α+cos²β+cos²γ=1；

Answer 1

见解析

设PA=a，PB=b，PC=c，则S₁=ab ，S₂=bc，S₃=ca，
作PD⊥BC于D，连AD，
易证BC⊥平面PAD，
于是BC⊥AD；
S_△ABC=BC×AD，
在Rt△APD中，AD²=a²+PD²，
在Rt△BPC中，PD²=，
∴AD²=a²+
∴S_△ABC²=（BC×AD）²=（a²b²+b²c²+c²a²）=
∴
证明：由（1）知，PD⊥BC，AD⊥BC，∴∠PDA是侧面PBC与底面ABC所成二面角的平面角，不妨设∠PDA=α，
PD²=，AD²=
∴cos²α=；
同理cos²β=；
cos²γ=；
∴cos²α+cos²β+cos²γ="1"