Question

19．已知等差数列{a_n}，S_n是前n项的和，求证：S₅，S₁₀-S₅，S₁₅-S₁₀成等差数列．设k∈N^*，S_k，S_2k-S_k，S_3k-S_2k成等差数列吗？

Answer 1

分析 设等差数列{a_n}的首项为a₁，公差为d，写出等差数列的前n项和，分别得到S₅，S₁₀，S₁₅，由等差数列的等于可得S₅，S₁₀-S₅，S₁₅-S₁₀成等差数列，同理证明S_k，S_2k-S_k，S_3k-S_2k成等差数列．

解答 证明：设等差数列{a_n}的首项为a₁，公差为d，
则${S}_{n}=n{a}_{1}+\frac{n（n-1）d}{2}$，
∴${S}_{5}=5{a}_{1}+\frac{5×4d}{2}=5{a}_{1}+10d$，
${S}_{10}=10{a}_{1}+\frac{10×9d}{2}=10{a}_{1}+45d$，
${S}_{15}=15{a}_{1}+\frac{15×14d}{2}=15{a}_{1}+105d$，
∴S₁₀-S₅=5a₁+35d，S₁₅-S₁₀=5a₁+60d，
则（S₁₀-S₅）-S₅=25d，（S₁₅-S₁₀）-（S₁₀-S₅）=25d．
∴S₅，S₁₀-S₅，S₁₅-S₁₀成等差数列．
S_k，S_2k-S_k，S_3k-S_2k成等差数列．
事实上，${S}_{k}=k{a}_{1}+\frac{k（k-1）d}{2}$，${S}_{2k}=2k{a}_{1}+\frac{2k（2k-1）d}{2}$，${S}_{3k}=3k{a}_{1}+\frac{3k（3k-1）d}{2}$，
${S}_{2k}-{S}_{k}=k{a}_{1}+\frac{3}{2}{k}^{2}d-\frac{kd}{2}$，${S}_{3k}-{S}_{2k}=k{a}_{1}+\frac{5}{2}{k}^{2}d-\frac{kd}{2}$，
∴$（{S}_{2k}-{S}_{k}）-{S}_{k}={k}^{2}d$，$（{S}_{3k}-{S}_{2k}）-（{S}_{2k}-{S}_{k}）={k}^{2}d$，
即（S_2k-S_k）-S_k=（S_3k-S_2k）-（S_2k-S_k）=k²d，
∴S_k，S_2k-S_k，S_3k-S_2k成等差数列．

点评 本题考查等差数列的前n项和，考查了等差数列的性质，是中档题．