Question

过点（1，

1

3

）作圆x²+y²=1的切线，切点分别为A、B，直线AB恰好经过椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦点和上顶点，则椭圆方程是

 

．

Answer 1

考点：椭圆的标准方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设点P（1，

1

3

），O（0，0）．以线段OP为直径的圆的方程为：（x-

1

2

）²+（y-

1

6

）²=

5

36

．与方程x²+y²=1相减得x+

1

3

y=1．由此求出焦点为（1，0），上顶点为（0，3）．从而能求出椭圆的方程．

解答： 解：设点P（1，

1

3

），O（0，0）．
则以线段OP为直径的圆的方程为：（x-

1

2

）²+（y-

1

6

）²=

5

36

．
与方程x²+y²=1相减得x+

1

3

y=1．
令x=0，得y=3；令y=0，得x=1．
∴焦点为（1，0），上顶点为（0，3）．
∴c=1，b=3．a²=b²+c²=10．
∴椭圆的方程为

x2

10

+

y2

9

=1．
故答案为：

x2

10

+

y2

9

=1．

点评：本题考查椭圆方程的求法，是中档题，解题时要注意圆的性质的合理运用．