Question

已知A（-2，0）是椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）与圆F：（x-c）²+y²=9的一个交点，且圆心F是椭圆的一个交点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过F的直线交圆与P、Q两点，连AP、AQ分别交椭圆与M、N点，试问直线MN是否过定点？若过定点，则求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的标准方程

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）a=2，c=1，由此能求出椭圆C的方程．
（2）设直线MN的方程为x=my+t，代入

x2

4

+

y2

3

=1，得（3m²+4）y²+6mty+3t²-12=0，由条件得

AM

•

AN

=（x₁+2）（x₂+2）+y₁y₂=0，由此能求出直线MN的方程为x=my-

2

7

，故直线过定点（-

2

7

，0）．

解答： 解：（1）∵A（-2，0）是椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）与圆F：（x-c）²+y²=9的一个交点，
且圆心F是椭圆的一个交点，
∴a=2，c=1或c=-5（舍），
∴b²=4-1=3，
∴椭圆C的方程为；

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）设直线MN的方程为x=my+t，代入

x2

4

+

y2

3

=1，
化简，得（3m²+4）y²+6mty+3t²-12=0，
设M（x₁，y₁），M（x₂，y₂），则y1+y2=-

6mt

3m2+4

，y1y2=

3t2-12

3m2+4

，①
由条件得

AM

•

AN

=（x₁+2）（x₂+2）+y₁y₂=0，
即(m2+1)y1y2+m(t+2)y1y2+(t+2)2=0，②
把①代入②，整理，得：
7t²+16t+4=0，解得t=-2，（舍）或t=-

2

7

，
∴直线MN的方程为x=my-

2

7

，故直线过定点（-

2

7

，0）．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查直线方程是否过定点的判断与求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．