Question

5．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且$b=2\sqrt{3}，\sqrt{3}sinC=（{sinA+\sqrt{3}cosA}）sinB$，则AC边上的高的最大值为3．

Answer 1

分析 由已知及三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式可得：$\sqrt{3}$sinAcosB=sinAsinB，由sinA≠0，可得tanB=$\sqrt{3}$，结合B∈（0，π）可求B，利用余弦定理，基本不等式可求12≥ac，进而利用三角形面积公式即可计算得解．

解答 解：由sin（A+B）=sinC，及$\sqrt{3}$sinC=（sinA+$\sqrt{3}$cosA）sinB，
可得：$\sqrt{3}$sinAcosB=sinAsinB，
由于sinA≠0，可得：tanB=$\sqrt{3}$，结合B∈（0，π），可得：B=$\frac{π}{3}$，
由b²=a²+c²-2accosB，可得：12=a²+c²-ac≥ac，
可得：S_△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{\sqrt{3}}{4}$ac≤3$\sqrt{3}$，
又由S_△ABC=$\frac{1}{2}$bh=$\sqrt{3}$h≤3$\sqrt{3}$，
可得：h≤3，即AC边上的高的最大值为3．
故答案为：3．

点评 本题主要考查了三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式，余弦定理，基本不等式，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于中档题．