Question

13．某学校为鼓励家校互动，与某手机通讯商合作，为教师伴侣流量套餐，为了解该校教师手机流量使用情况，通过抽样，得到100位教师近2年每人手机月平均使用流量L（单位：M）的数据，其频率分布直方图如下：若将每位教师的手机月平均使用流量分布视为其手机月使用流量，并将频率为概率，回答以下问题．
（1）从该校教师中随机抽取3人，求这3人中至多有1人月使用流量不超过300M的概率；
（2）现该通讯商推出三款流量套餐，详情如下：

套餐名称	月套餐费（单位：元）	月套餐流量（单位：M）
A	20	300
B	30	500
C	38	700

这三款套餐都有如下附加条款：套餐费月初一次性收取，手机使用一旦超出套餐流量，系统就自动帮用户充值200M流量，资费20元；如果又超出充值流量，系统就再次自动帮用户充值200M流量，资费20元/次，依此类推，如果当流量有剩余，系统将自动清零，无法转入次月使用．
学校欲订购其中一款流量套餐，为教师支付月套餐费，并承担系统自动充值的流量资费的75%，其余部分由教师个人承担，问学校订购哪一款套餐最经济？说明理由．

Answer 1

分析 （1）记“从该校随机抽取一名教师，该教师手机月使用流量不超过300M”为事件D，依题意，P（D）=0.3，从该校教师中随机抽取3人，设这3人中手机月使用流量不超过300M的人数为X，则X～B（3，0.3），由此能求出从该校教师中随机抽取3人，至多有一人手机月使用流量不300M的概率．
（2）依题意，从该校随机抽取一名教师，该教师手机月使用流量L∈（300，500]的概率为0.6，L∈（500，700]的概率为0.1，分别求出三各套餐的数学期望，能得到学校订购B套餐最经济．

解答 解：（1）记“从该校随机抽取一名教师，该教师手机月使用流量不超过300M”为事件D，
依题意，P（D）=（0.0008+0.0022）×100=0.3，
从该校教师中随机抽取3人，设这3人中手机月使用流量不超过300M的人数为X，则X～B（3，0.3），
∴从该校教师中随机抽取3人，至多有一人手机月使用流量不300M的概率为：
P（X=0）+P（X=1）=${C}_{3}^{0}（0.3）^{0}（0.7）^{3}+{C}_{3}^{1}（0.3）（0.7）^{2}$=0.784．
（2）依题意，从该校随机抽取一名教师，
该教师手机月使用流量L∈（300，500]的概率为：（0.0025+0.0035）×100=0.6，
L∈（500，700]的概率为：（0.0008+0.0002）×100=0.1，
当学校订购A套餐时，设学校为一位教师承担的月费用为X元，
则X的所有可能取值为20，35，50，且P（X=20）=0.3，P（X=35）=0.6，P（X=50）=0.1，
∴X的分布列为：

X	20	35	50
P	0.3	0.6	0.1

∴E（X）=20×0.3+35×0.6+50×0.1=32（元）．
当学校订购B套餐时，设学校为一位教师承担的月费用为Y元，
则Y的可能取值为30，45，且P（Y=30）=0.3+0.6=0.9，P（Y=45）=0.1，
∴Y的分布列为：

Y	30	45
P	0.9	0.1

E（Y）=30×0.9+45×0.1=31.5，
当学校订购C套餐时，设学校为一位教师承担的月费用为Z元，
则Z的所有可能取值为38，且P（Z=38）=1，E（Z）=38×1=38，
∵E（Y）＜E（X）＜E（Z），
∴学校订购B套餐最经济．

点评 本题考查频率分布直方图、独立重复试验、数学期望等基础知识，考查抽象概括能力、数据处理能力、运算求解能力，考查应用意识、创新意识，考查统计与概率思想、分类与整合思想，是中档题．