Question

已知直线C₁：(t为参数)，圆C₂：ρ＝1.(极坐标轴与x轴非负半轴重合)

(1)当α＝时，求直线C₁被圆C₂所截得的弦长；

(2)过坐标原点O作C₁的垂线，垂足为A.当a变化时，求A点的轨迹的普通方程．

Answer 1

(1)当α＝时，C₁的普通方程为y＝(x－1)，

C₂的普通方程为x²＋y²＝1.

法1：联立方程组

解得C₁与C₂的交点为(1,0)，(，－)，

所以截得的弦长为＝1.

法2：原点O到直线C₁的距离为＝，

又圆C₂的半径为1，所以截得的弦长为2＝2×＝1.

(2)C₁的普通方程为xsinα－ycosα－sinα＝0.

A点坐标为(sin²α，－cosαsinα)，

故当α变化时，A点轨迹的参数方程为(α为参数)．

所以A点轨迹的普通方程为x²＋y²－x＝0.